Démonstration de la limite de Betz




D’après le théorème de l’énergie cinétique, l’énergie cinétique d’une masse est égale à la moitié du produit de cette masse par le carré de sa vitesse de déplacement.

$$
E_c=\dfrac{1}{2}.m.V^2
$$

Considérons une éolienne avec un rotor balayant une surface $S$, $v_1$ est la vitesse du vent en amont du rotor (avant que celui-ci ne le traverse) et $v_2$ la vitesse du vent en aval du rotor (après que celui-ci ait traversé le rotor)

Tube de Betz

Puissance cinétique

Calculons maintenant la masse d'air déplacée en amont du rotor en 1 seconde :

$$
\dot{m}=S.v_1.\rho
$$

$\rho$ étant la masse volumique de l'air exprimée en kg/m3

La puissance cinétique de cette masse d'air est donc égale à :

$$
E_{c1}=\dfrac{1}{2}.\dot{m}.v_1^2
$$

En remplaçant $m$ par son expression trouvée précédemment nous avons :

$$
E_{c1}=\dfrac{1}{2}.S.v_1.\rho.v_1^2 
$$

$$
E_{c1}=\dfrac{1}{2}.S.\rho.v_1^3
$$

Nous procédons de la même façon pour calculer $E_{c2}$, la puissance cinétique en aval du rotor

$$
E_{c2}=\dfrac{1}{2}.S.\rho.v_2^3
$$

Variation d’énergie cinétique

La variation d’énergie cinétique de la masse d'air qui passe au travers le rotor est donc égale à (en remplaçant la densité de l’air par sa valeur moyenne) :

$$
\Delta E_{c}=E_{c2}-E_{c1}
$$

$$
\Delta E_{c}=\dfrac{1}{2}.\dot{m}.v_2^2-\frac{1}{2}.\dot{m}.v_1^2
$$

$$
\Delta E_{c}=\dfrac{1}{2}.\dot{m}.(v_2^2-v_1^2)
$$

$$
\Delta E_{c}=\dfrac{1}{2}.\rho.S.v_{avg}.(v_2^2-v_1^2)
$$

Energie absorbée par le rotor

Calculons maintenant l'énergie absorbée par le rotor. La variation de la quantité de mouvement de la veine de vent entre l'amont et l'aval du rotor s'exprime par la relation vectorielle :

$$
\vec{P}=m.\vec{v_{avg}}
$$

Avec

$$
m=\rho.S.v_{avg}
$$

et

$$
\vec{v_{avg}}=\vec{v_1}-\vec{v_2}
$$

La variation de quantité de mouvement de la veine de vent entre l'amont et l'aval du rotor vaut donc :

$$
\vec{P}=\rho.S.v_{avg}.(\vec{v1}-\vec{v_2})
$$

Nous pouvons en déduire que l'énergie perdue par la veine de vent et donc absorbée par le rotor est égale à :

$$
W=\vec{P}.\vec{v_{avg}}=\rho.S.v_{avg}^2.(v_1-v_2)
$$

en admettant que les vitesses du vent en amont et en aval du rotor ont la même direction.

Or nous savons que cette énergie est égale à l’opposé de la variation d’énergie cinétique soit :

$$
W=-\Delta E_{c}
$$

En remplaçant $W$ et $\Delta E_{c}$ par leurs expressions trouvées précédemment, nous avons l'égalité suivante :

$$
\rho.S.v_{avg}^2.(v_1-v_2)=-\dfrac{1}{2}.\rho.S.v_{avg}.(v_2^2-v_1^2)
$$

en développant l'identité remarquable du type a2-b2 nous avons

$$
v_{avg}.(v_1-v_2)=-\dfrac{1}{2}.(v_2-v_1).(v_2+v_1)
$$

Nous pouvons en déduire l'expression de $v_{avg}$

$$
v_{avg}=\dfrac{v_1+v_2}{2}
$$

Energie maximale

Energie maximale

Déterminons maintenant $v_2$ pour que l'énergie $W$ soit maximale

$$
W=\rho.S.v_{avg}^2.(v_1-v_2)
$$

En remplaçant $v_{avg}$ par son expression calculée précédemment nous avons

$$
W=\rho.S.\frac{(v_1+v_2)^2}{4}.(v_1-v_2)
$$

$$
W=\rho.S.\dfrac{v_1+v_2}{4}.(v_1^2-v_2^2)
$$

L'énergie $W$ est maximale pour une vitesse $v_2$ telle que sa dérivée première s'annule et que sa dérivée seconde est négative.

$$
\dfrac{dW}{dv_2}=0
$$

soit

$$
\dfrac{d(\rho.S.(-v_2^3-v_1.v_2^2+v_1^2.v_2+v_1^3))}{dv_2}=0
$$

C'est-à-dire

$$
-3v_2^2-2v_1.v_2+v_1^2=0
$$

On résout cette équation du second degré et d’inconnue $v_2$

$$
\Delta=(-2v_1)^2-4.(-3)v_1^2=16.v_1^2=(\pm 4v_1)^2
$$

Nous avons 2 solutions possibles

$$
v_2=\dfrac{2v_1+4v_1}{-6} < 0
$$

cette solution est impossible
ou

$$
v_2=\dfrac{2v_1-4v_1}{-6}=\dfrac{v_1}{3}
$$

$W$ est donc maximale pour $v_2 $ égal à $\dfrac{1}{3}v_1 $

On vérifiera que la dérivée seconde est bien alors négative.

Calcul de l'énergie maximale

Nous savons que

$$
v_{avg}=\dfrac{v_1+v_2}{2}
$$

Donc d’après la valeur maximale de $v_2 $

$$
v_{avg}=\frac{2}{3}.v_1
$$

En reportant $v_{avg}$ et $v_2$ dans l'expression de $W$ on obtient :

$$
W=\rho.S.\left(\dfrac{2v_1}{3}\right)^2.\left(v_1-\dfrac{v_1}{3}\right)
$$

D’où

$$
W_{max}=\rho.S.v_1^3.\dfrac{8}{27}
$$

Calcul du coefficient d'énergie maximal

Nous savons que l'énergie récupérable du vent s'exprime par

$$
W=C_p.\dfrac{1}{2}.\rho.S.V^3
$$

Nous pouvons donc écrire $W_{max}$ sous cette forme, soit

$$
W_{max}=\rho.S.v_1^3.\dfrac{8}{27}=\dfrac{16}{27}.\dfrac{1}{2}.\rho.S.V_1^3
$$

Par identification nous en déduisons la valeur de $C_p=\dfrac{16}{27} \approx 0,59$, nous retrouvons la limite de Betz, nous venons donc de la démontrer.

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