====== Démonstration de la limite de Betz ======

===== Hypothèses =====
  * L'étude est réalisée dans un référentiel $R$ lié au sol et supposé galiléen
  * L'air est considéré comme un fluide parfait, homogène et incompressible de masse volumique $\rho$
  * On suppose que le mouvement de l'air est stationnaire et à symétrie de révolution autour de l'axe de rotation de l'hélice
===== Puissance cinétique =====


Calculons maintenant la masse d'air déplacée en amont du rotor par unité de temps : 

$$
\dot{m}=S.v_1.\rho
$$

$\rho$ étant la masse volumique de l'air exprimée en kg/m<sup>3</sup>

La puissance cinétique de cette masse d'air avant qu'elle ne frappe la turbine est donnée par :

$$
\dot E_{c1}=\dfrac{1}{2}.\dot{m}.v_1^2
$$

$$
\dot E_{c1}=\dfrac{1}{2}.S.v_1.\rho.v_1^2 
$$

$$
\dot E_{c1}=\dfrac{1}{2}.S.\rho.v_1^3
$$

Nous procédons de la même façon pour calculer $E_{c2}$, la puissance cinétique en aval du rotor

$$
\dot E_{c2}=\dfrac{1}{2}.S.\rho.v_2^3
$$




===== Variation d’énergie cinétique =====

La variation d’énergie cinétique par unité de temps de la masse d'air qui passe au travers le rotor est donc égale à (en remplaçant la densité de l’air par sa valeur
moyenne) :

$$
\Delta E_{c}=E_{c2}-E_{c1}
$$

$$
\Delta \dot E_{c}=\dfrac{1}{2}.\dot{m}.v_2^2-\frac{1}{2}.\dot{m}.v_1^2
$$

$$
\Delta \dot E_{c}=\dfrac{1}{2}.\dot{m}.(v_2^2-v_1^2)
$$


$$
\Delta \dot E_{c}=\dfrac{1}{2}.\rho.S.v_{avg}.(v_2^2-v_1^2)
$$


===== Puissance absorbée par le rotor =====

Calculons maintenant l'énergie absorbée par le rotor.
La variation de la quantité de mouvement de la veine de vent entre l'amont et l'aval du rotor s'exprime par la relation vectorielle : 

$$
\vec{P}=m.(\vec{v_1}-\vec{v_2})
$$

Avec
$$
\dot m=\rho.S.v_{avg}
$$

La variation de quantité de mouvement par unité de temps de la veine de vent entre l'amont et l'aval du rotor vaut donc :

$$
\frac{d\vec{P}}{dt}=\rho.S.v_{avg}.(\vec{v_1}-\vec{v_2})
$$

Nous pouvons en déduire que la puissance perdue par la veine de vent et donc absorbée par le rotor est égale à :\\

$$
P=\vec{P}\cdot\vec{v_{avg}}=\rho.S.v_{avg}^2.(v_1-v_2)
$$ en admettant que les vitesses du vent en amont et en aval du rotor ont la même direction.

Or nous savons que cette puissance est égale à l’opposé de la variation d’énergie cinétique par unité de temps soit : \\
$$
P=-\frac{d\Delta E_{c}}{dt}
$$
En remplaçant $P$ et $\Delta E_{c}$ par leurs expressions trouvées précédemment, nous avons l'égalité suivante : \\
$$
\rho.S.v_{avg}^2.(v_1-v_2)=-\dfrac{1}{2}.\rho.S.v_{avg}.(v_2^2-v_1^2)
$$
en développant l'identité remarquable du type a<sup>2</sup>-b<sup>2</sup> nous avons

$$
v_{avg}.(v_1-v_2)=-\dfrac{1}{2}.(v_2-v_1).(v_2+v_1)
$$

Nous pouvons en déduire l'expression de $v_{avg}$\\

$$
v_{avg}=\dfrac{v_1+v_2}{2}
$$


===== Puissance maximale =====

[{{ :ratio.gif?300|Energie maximale}}]

Déterminons maintenant $v_2$ pour que la puissance $W$ soit maximale
$$
P=\rho.S.v_{avg}^2.(v_1-v_2)
$$
En remplaçant $v_{avg}$ par son expression calculée précédemment nous avons 

$$
P=\rho.S.\frac{(v_1+v_2)^2}{4}.(v_1-v_2)
$$

$$
P=\rho.S.\dfrac{v_1+v_2}{4}.(v_1^2-v_2^2)
$$
La puissance $P$ est maximale pour une vitesse $v_2$ telle que sa dérivée première s'annule et que sa dérivée seconde est négative.

$$
\dfrac{dW}{dv_2}=0
$$

soit\\

$$
\dfrac{d(\rho.S.(-v_2^3-v_1.v_2^2+v_1^2.v_2+v_1^3))}{dv_2}=0
$$

C'est-à-dire 

$$
-3v_2^2-2v_1.v_2+v_1^2=0
$$
On résout cette équation du second degré et d’inconnue $v_2$

$$
\Delta=(-2v_1)^2-4.(-3)v_1^2=16.v_1^2=(\pm 4v_1)^2
$$

Nous avons 2 solutions possibles 
$$
v_2=\dfrac{2v_1+4v_1}{-6} < 0
$$ cette solution est impossible
\\ ou \\ 
$$
v_2=\dfrac{2v_1-4v_1}{-6}=\dfrac{v_1}{3}
$$

$P$ est donc maximale pour $v_2 $ égal à $\dfrac{1}{3}v_1 $

On vérifiera que la dérivée seconde est bien alors négative.

===== Calcul de la puissance maximale =====
Nous savons que
$$
v_{avg}=\dfrac{v_1+v_2}{2}
$$
Donc d’après la valeur maximale de $v_2 $

$$
v_{avg}=\frac{2}{3}.v_1
$$

En reportant $v_{avg}$ et $v_2$ dans l'expression de $P$ on obtient :

$$
P=\rho.S.\left(\dfrac{2v_1}{3}\right)^2.\left(v_1-\dfrac{v_1}{3}\right)
$$

D’où 

$$
P_{max}=\rho.S.v_1^3.\dfrac{8}{27}
$$
 

===== Calcul du coefficient d'énergie maximal=====
Nous savons que la puissance récupérable du vent s'exprime par 

$$
P=C_p.\dfrac{1}{2}\cdot \rho\cdot S\cdot .v_1^3
$$

Nous pouvons donc écrire $P_{max}$ sous cette forme, soit

$$
P_{max}=\rho.S.v_1^3.\dfrac{8}{27}=\dfrac{16}{27}.\dfrac{1}{2}.\rho\cdot S\cdot v_1^3
$$

Par identification nous en déduisons la valeur de $C_p=\dfrac{16}{27} \approx 0,59$, nous retrouvons la limite de Betz, nous venons donc de la démontrer.

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===== Voir aussi =====
  * [[eolienne_etude_theorique|étude théorique d'une éolienne]]