====== étude théorique d'une éolienne======
===== Énergie fournie par le vent ===
L'énergie fournie par le [[vent]] est une énergie cinétique, elle est fonction de la masse et de la vitesse du volume d'air. Si on considère que la masse volumique de l'air (masse de l'air par unité de volume) est constant, on peux dire que l'énergie fournie par le vent est fonction de sa vitesse :
**énergie cinétique du vent**
E_c=\dfrac{1}{2}.m.V^2
m : masse du volume d'air (en kg)\\
V : vitesse instantanée du vent (en m/s)\\
E_c : énergie cinétique (en joules)\\
~~CL~~
A une pression atmosphérique normale et à une température de 15 degrés Celsius, l'air pèse environ 1,225 kg par mètre cube. Cependant, la densité diminue un peu lorsque l'humidité de l'air augmente.
De même, l'air froid est plus dense que l'air chaud, tout comme la densité de l'air est plus faible à des altitudes élevées (dans les montagnes) à cause de la pression atmosphérique plus basse qui y règne.
==== Énergie théoriquement récupérable ====
En considérant un dispositif de récupération de cette énergie de surface S et en faisant l'hypothèse que la vitesse du vent est identique en chaque point de cette surface, le volume d'air qui traverse cette surface en 1 seconde est égale à VS.
**Puissance théoriquement récupérable**
P=E_{c/s}=\dfrac {1}{2}.\left(\dfrac {m_0.VS}{m}\right).V^2
m : masse du volume d'air traversant la surface S en 1 seconde\\
m_0 : masse volumique de l'air\\
VS : volume d'air considéré (en m3)\\
V : vitesse de l'air traversant le dispositif (en m/s)\\
S : surface du dispositif de récupération (en m2)\\
P : puissance récupérable (en watt)
~~CL~~
==== Puissance récupérable ====
**Puissance du vent contenue dans un cylindre de section** S \,
P_{cin\acute{e}tique} = \dfrac{1}{2} . \rho . S . V^3 \,
\rho \, : masse volumique de l'air (air atmosphérique sec, environ : 1,23 kg/m3 à 15 °C et à pression atmosphérique 1,0132 bar)\\
S : surface du capteur éolien (en m2)\\
V \, : vitesse du vent (en m/s)
~~CL~~
Cette puissance est une puissance théorique, il est bien sûr impossible qu'elle soit récupérée tel quelle par une éolienne (cela reviendrait à arrêter le vent).
=== Les éoliennes détournent le vent ===
En pratique, une éolienne dévie le vent avant qu'il atteigne la surface balayée par le rotor. Une éolienne ne pourra donc jamais récupérer l'énergie totale fournie par le vent (voir loi de Betz). Lorsque l'énergie cinétique du vent est convertie en énergie mécanique par le rotor, le vent est freiné par celui-ci, la vitesse du vent à en amont du rotor est toujours supérieure à celle en aval. Hors la masse d'air qui traverse la surface balayée par le rotor est identique à celle sortant. Il en résulte un élargissement de la veine d'air (tube de courant) à l'arrière du rotor.
Ce freinage du vent est progressif, jusqu'à ce que la vitesse de l'air à l'arrière du rotor devienne à peu près constante.
==== Limite de Betz/Formule de Betz ====
La puissance récupérable est inférieure, puisque l'air doit conserver une énergie cinétique résiduelle pour qu'il subsiste un écoulement. [[wp>fr:Albert Betz|Albert Betz]] a démontré que la puissance maximale récupérable est :\\
**La puissance maximale récupérable**
P_{max} = \dfrac{16}{27} . P_{cin\acute{e}tique} = \dfrac{8}{27}. \rho . S . V^3
avec P_{cin\acute{e}tique}= \dfrac{1}{2}. \rho . S . V^3 lorsque V_{aval}=\dfrac{1}{3} V_{amont}
\rho : masse volumique du fluide (air atmosphérique sec, environ : 1,23 kg/m3 à 15 °C et à pression atmosphérique 1,0132 bar)\\
S : surface du capteur éolien (en m2)\\
V : vitesse incidente (amont) du fluide (en m/s) \\
[[demonstration_limite_betz|+ voir la démonstration]]
[{{ :courbe_betz.png|Courbe de Betz (W/m²)}}]
~~CL~~
Le rendement maximal théorique d'une [[éolienne]] est ainsi fixé à \dfrac{16}{27}, soit environ 59,3 %. Ce chiffre ne prend pas en compte les pertes d'énergie occasionnées lors de la conversion de l'énergie mécanique du vent en énergie électrique.
Dans le cas d'une hélice de diamètre D, la limite de Betz est égale à :
P=0,37.\frac {\pi}{4}.D^2.V^3\\
P=0,29.D^2.V^3
La puissance fournie par un aérogénérateur est proportionnelle :
* au **carré** des dimensions du rotor
* au **cube** de la vitesse du vent
==== Rendements ====
L'énergie fournie par l'[[aérogénérateur]] étant toujours transformée, cette limite est donc affectée par tout les rendements propres aux différentes transformations.
* Hélice : 0,20 < \eta < 0,85
* Le multiplicateur ou le réducteur : 0,7 < \eta < 0,98
* L'alternateur ou la génératrice continue : 0,80 < \eta < 0,98
* Le transformateur : 0,85 < \eta < 0,98
* Le redresseur : 0,9 < \eta < 0,98
* Les batteries : 0,7 < \eta < 0,8
* Les pertes de lignes : 0,9 < \eta < 0,99
Les rendements de chaque élément varie avec le régime de fonctionnement lié à la vitesse de rotation de l'hélice, ce qui en dehors du régime nominal diminue encore le rendement global du dispositif, il semble difficile de dépasser 70% de la limite de Betz.
===== Le potentiel éolien =====
==== La distribution de Weibull ====
[{{ :repartition_vent.png?400|Répartition de la vitesse du vent}}]
C'est le modèle général qui décrit les variations de la vitesse du [[vent]]. Ce modèle permet d'optimiser la conception des [[éoliennes]] pour minimiser les coûts liés à la production d'électricité.
Le coefficient de Weibull traduit la distribution des vitesses du vent et déterminé par la courbe de distribution Weibull.
**Fonction de probabilité de densité de Weibull**
f(x) = k.c^{-k}.x^{(k-1)}.e^{-(x/c)^k}
~~CL~~
La fonction de probabilité de densité de Weibull destinés à refléter la probabilité qu'un événement se produise entre deux points. L'aire sous la courbe entre deux vitesses de vent supérieures à zéro sera égale à la probabilité que le vent souffle quelque part entre ces deux vitesses. Sur la courbe de puissance ci-contre, nous pouvons déterminer les des paramètres de Weibull k = 1.751311 et c = 5,986052.
L'aire sous la courbe est définie par :
F(x) = 1-e^{-(x/c)^k}
Dans l'exemple ci-contre, la probabilité pour que le vent souffle entre 3 m/s et 4 m/s est de : F(4) – F(3) = 0.38958 – 0.25788 soit 13.17%
==== La puissance moyenne ====
La puissance moyenne du vent est déterminée grâce à la distribution de Weibull, connaitre la vitesse moyenne du vent ne suffi pas à calculer la puissance moyenne. Il faudra prendre en compte la probabilité de l'occurrence de chaque vitesse de vent et la puissance correspondante, car la puissance est proportionnelle au cube de la vitesse. Les vents forts contenant le plus d'énergie influeront d'autant plus sur la puissance moyenne, bien qu'ils aient une faible probabilité.
==== La puissance du vent ====
[{{ :densite_de_puissancei.png|densité de puissance du vent}}]
En multipliant la puissance de chaque vitesse de vent par la probabilité de l'occurrence de cette vitesse selon la répartition de Weibull, nous pouvons calculer la distribution de l'[[énergie éolienne]] à des vitesses de vent différentes, cette distribution est appelée la **densité de puissance**.
~~CL~~
==== Variation de vitesse du vent en fonction de la hauteur ====
* voir l'article sur le [[:vent#les_variations_de_vitesse_de_vent_en_fonction_de_l_altitude_cisaillement|vent]]
===== Action du vent sur les pales =====
Soit une hélice immobile dont l'axe de rotation est parallèle au [[vent]], pour chaque [[pale]] on peux tracer la résultante perpendiculaire au profil appliquée au centre de la poussée aérodynamique.
\\
On obtient:
* T_1 et T_2 parallèles et de même sens qui ont tendance à déplacer l'hélice dans un mouvement de translation dans la direction du vent
* P_1 et P_2 parallèle et de sens opposé, perpendiculaire à la direction du vent
Ces deux forces créent un couple moteur qui a tendance à faire tourner l'hélice dans un plan perpendiculaire à la direction du vent. Le vent vu par la pale est en faite une composition du vent réel et du vent créé par le déplacement de la pale (qui varie sur toute la longueur de la pale proportionnellement au rayon), ce vent résultant est appelé "vent apparent" ou "vent relatif", la vitesse de ce vent résultant par rapport à la pale est supérieure à la vitesse propre de la pale.
**Vitesse du vent créé par le déplacement de la pale **
U=r \omega = r.2 \pi \dfrac {n}{60}
U : vitesse du vent dû au déplacement de la pale (en m/s)\\
r : distance du point considéré à l'axe de rotation (en m)\\
\omega : fréquence de rotation du rotor (en rad/s)\\
n : fréquence de rotation du rotor (en tour/min)
~~CL~~
==== La vitesse spécifique ====
La vitesse spécifique ou le paramètre de rapidité noté λ est le rapport entre la vitesse de l'extrémité des pales et la vitesse du vent. Les machines peuvent être classée en fonction de ce paramètre
* si λ est inférieur à 3, l’éolienne est dite lente
* si λ est supérieur à 3 , l’éolienne est dite rapide.
Par exemple, une éolienne bipales peut avoir un paramètre λ égal à 20.
**Vitesse spécifique**
\lambda = \dfrac{U}{V} = \dfrac{\omega.R}{V}
U : vitesse de l'extrémité des pales (en m/s)\\
V : vitesse du vent (en m/s)\\
R : longueur des pales ou rayon de la turbine (en m) \\
\omega : fréquence de rotation du rotor (en rad/s)\\
~~CL~~
==== La portance ====
[{{ :portance.png?350|Portance sur le profil d'une [[:pale]] d'[[:éolienne]]}}]
Comme pour l'aille d'un avion, une [[:pale]] d'[[:éolienne]] utilise l'effet de portance. Cet effet est du à l'écoulement de l'air autour du profil qui est plus rapide sur l'extrados (le dessus) que sur l'intrados (le dessous) de l'aile, ce qui entraine une dépression sur l'extrados. Le flux d'air circule plus rapidement sur l'extrados car la longueur à parcourir est plus importante que sous l'intrados, l'écoulement d'air devant rester constant à l'avant et à l'arrière de la pale, l'air s'écoule donc plus rapidement.
La portance est perpendiculaire à la direction du [[:vent]].
~~CL~~
==== La traînée ====
En aérodynamique la traînée correspond à la résistance d'air, celle-ci augmente avec surface exposée à la direction de l'écoulement de l'air.
**La force de traînée**
F = q . S . C_x = \dfrac{1}{2}.\rho_{air}.V^2.S.C_x
\rho_{air} : masse volumique de l’air (1,225 kg/m3 à 15°C au niveau de la mer)\\
V : vitesse de déplacement (en m/s)\\
S : surface de référence (surface projetée, surface mouillée, maître couple)\\
C_x : coefficient de traînée
~~CL~~
==== Le décrochage ====
Si on incline une pale ou une l'aille par rapport à la direction de l'écoulement de l'air, sa portance augmentera. Lorsque l'**angle d'incidence** - ou angle d'attaque - deviens trop important il se produit un **décrochage aérodynamique**, cela signifie que l'écoulement de l'air sur l'extrados ne se fait plus de façon régulière, et l'air commence à tournoyer dans un tourbillon irrégulier en formant une **turbulence**. La portance résultant de la dépression au niveau de l'extrados de l'aile disparaît.
Le phénomène de décrochage aérodynamique est utilisé par les ingénieurs de l'industrie éolienne lors de la [[:projet_eolien:conception|conception]] des [[:pales]] du [[:rotor]] ([[:système de régulation et de protection]]).
===== Diminution de vitesse en aval du rotor =====
Le modèle le plus courant de calcul de la diminution de vitesse dans le sillage est celui développé par WASP/Park2, [[logiciel]] utilisé en standard par l’industrie éolienne. Ce modèle s’appuie sur le développement linéaire d’un [[sillage]] rectangulaire.
**La vitesse du vent en aval de l’éolienne**
V = U \bigg[ 1-\sqrt{({1-CT})}(\frac{D}{D+2kX})^2\bigg]
V : vitesse du vent dans le sillage (en aval du rotor tournant)\\
U : vitesse du vent non perturbée en amont\\
CT : coefficient de traînée de l’éolienne (sans dimension)\\
D : diamètre du rotor \\
X : distance du rotor au point de calcul \\
k : est une constante de décroissance du sillage
~~CL~~
**constante de décroissance du sillage**
k = \dfrac {A}{\ln \left({\dfrac {h}{z_0}\right)}}
A : constante (A=0,5)\\
h : hauteur du moyeu (centre du rotor)\\
z0 : longueur de rugosité\\
~~CL~~
===== La chute de tension =====
**Calcul de la chute de tension** \Delta U **d'un câble électrique**
\Delta U=n.(R.I) avec R=\rho.\dfrac{l}{s}
l : longueur du câble (en m)\\
s : section de câble (en m2) \\
\rho : résistivité du matériau utilisé (cuivre : 1,8.10^{-8} \Omega m Aluminium 2,7.10^{-8} \Omega m) \\
I : intensité nominale (en ampères)\\
n : nombre de conducteurs (mono ou triphasé)
~~CL~~
===== Puissance d'une turbine =====
==== La courbe de puissance d'une éolienne ====
[{{ :courbe_puissance_eolienne.png|Courbe de puissance d'une éolienne}}]
La **courbe de puissance** est un graphe qui représente la puissance de sortie d'une éolienne à différentes vitesses de vent.
Elles est élaborée à partir de mesures effectuées sur site en fixant un anémomètre sur un mât situé à proximité de l'éolienne et non directement sur l'éolienne même ou trop près de celle-ci car elle risque alors de provoquer des turbulences qui nuiront à la fiabilité des mesures.
La courbe de puissance est en réalité constituée d'une multitude de points espacés de part et d'autre de la ligne rouge, plutôt qu'une courbe bien définie comme celle du graphe ci-contre.
En effet, il y aura toujours des fluctuations de la vitesse du [[vent]] qui rendront impossible une mesure de façon précise du flux d'air passant à travers le [[rotor]] de l'éolienne. Dans la pratique, on prendra donc la moyenne des différentes mesures pour chaque vitesse de vent afin de tracer le graphe. Une erreur de mesure de 3% de la vitesse du vent engendrera une erreur de 9% du contenu énergétique du vent. Par conséquent, une marge d'erreur de +/- 10% est possible, même dans les courbes de puissance certifiées.
On peut distinguer 4 parties sur cette courbe :
* de 0 à la vitesse de démarrage (ici 5 m/s) : la puissance de sortie est nulle, le vent n'est pas suffisamment important pour entrainer la rotation du rotor
* de la vitesse de démarrage à le vitesse nominale (ici 15 m/s) : la puissance de sortie augmente jusqu'à atteindre la puissance nominale (ici 750 kW)
* de la vitesse nominale à la vitesse de coupure (ici 25 m/s) : la puissance de sortie est maintenue à la puissance nominale presque constante grâce au [[systeme_de_regulation_et_de_protection|dispositif de régulation]]
* après la vitesse de coupure : l’éolienne est mise à l’arrêt pour protection, la puissance de sortie est nulle
~~CL~~
=== Utilisation ===
Une courbe de puissance n'indique pas la puissance que produira une éolienne à une certaine vitesse moyenne du vent.
Il est très important de savoir comment cette moyenne a été calculée, c'est à dire si le vent est très variable, ou s'il souffle à une vitesse relativement constante.
Par exemple un site présentant une vitesse de vent moyenne annuelle de 5 m/s, si l'on suppose que cette année fasse 8000 heures :
* si le vent souffle pendant 8000 heures à 5 m/s nous obtiendront 2000 kWh à la fin de l'année (pour une puissance constante de 250 Watts)
* si le vent ne souffle pas pendant 4000 heures (production nulle) et souffle pendant 4000 heures restantes à 10 m/s nous obtiendront une production de 8000 kWh (pour une puissance constante de 2 kW).
Dans ces deux cas la moyenne du vent annuelle est identique, mais dans la production dans le deuxième cas est 4 fois plus importante. C'est pour cela qu'une mesure, pendant une durée d'au minimum une année, de la vitesse du [[:vent]] sur le site est très importante afin de tenir compte des variations saisonnières qui peuvent avoir une influence très importante sur la production de l'éolienne.
De plus, la plupart de l'[[énergie éolienne]] est captable à des vitesses de vent deux fois supérieures à la vitesse de vent la plus fréquente sur le site en question (voir [[#la_puissance_du_vent|densité de puissance]]).
Il faudra aussi prendre en compte le fait que l'éolienne ne trouvera peut-être pas sur un site avec un pression d'air et une température standard. Dans ce cas, il faudra corriger la courbe en fonction des variations de la densité de l'air.
==== Efficacité mécanique ====
[{{:coefficient_puissance.png?300|courbe de l'efficacité mécanique d'une éolienne}}]
Sur ce graphe, l'efficacité mécanique de l'éolienne est la plus élevée (45 %) pour une vitesse de vent d'environ 9 m/s. Cette valeur a été choisie délibérément par les ingénieurs lors de la [[projet_eolien:conception|conception de l'éolienne]]. A des vitesses de vent faibles, l'efficacité a moins d'importance car il y a peu d'énergie à récupérer. A des vitesses de vent élevées, l'éolienne est mise en drapeau afin de ne pas la détériorer, l'énergie n'est donc pas récupérable. Il est donc plus intéressant d'avoir une bonne efficacité à des vitesses de vent où la plus grande partie de l'énergie est récupérable.
~~CL~~
==== Le coefficient de puissance ====
[{{ :wind_power_coeff.png?500|courbe du coefficient de puissance d'une éolienne en fonction de la vitesse du vent}}]
Le **coefficient de puissance** ou **coefficient de performance** indique l'efficacité avec laquelle l'éolienne convertit l'énergie mécanique du vent en électricité. Ce coefficient diffère suivant les turbines. Si on prend la courbe de puissance et la divisons par la surface balayée par le rotor pour obtenir la puissance de sortie par mètre carré de la surface balayée par le rotor. \\
On divise ensuite le résultat par la puissance du vent par mètre carré pour chaque vitesse de vent. \\
Le graphe ci-contre représente la courbe du coefficient de puissance pour une éolienne, bien que l'efficacité moyenne d'une telle éolienne soit normalement supérieure à 20 %, celle-ci varie considérablement en fonction de la vitesse du vent. \\
Le coefficient de puissance tient compte de la [[#limite_de_betzformule_de_betz|limite de Betz]], c'est pour cela qu'il sera toujours inférieur à cette limite.
~~CL~~
=== Calcul du coefficient de puissance ===
[{{ :cp.png|Coefficient de puissance en fonction de la vitesse spécifique}}]
Ce calcul est une valeur approchée de manière empirique pour une éolienne utilisant une génératrice de type MADA.
**coefficient de puissance**
Cp = [0.5 - 0.00167.(\beta -2)].sin\left(\dfrac{\pi(\lambda + 0.1)}{18.5 - 0.3(\beta - 2)}\right) - 0,00184(\lambda - 3)(\beta - 2)
\lambda : Vitesse spécifique (em m/s)\\
\beta : Angle de calage des pales (en degrés) \\
~~CL~~
==== Couple mécanique produit par l'éolienne ====
**couple mécanique produit par l'éolienne**
\Gamma = \dfrac{P}{\omega}
P : puissance mécanique (en W) \\
\omega :fréquence de rotation du rotor (en rad/s)
~~CL~~
==== Puissance mécanique à l’entrée de la génératrice ====
[{{ :pm.png|Puissance mécanique en fonction de la fréquence de rotation du rotor pour différentes vitesses de vent}}]
**Puissance mécanique à l’entrée de la génératrice**
Pm = \dfrac{1}{2}.\rho.\pi R^2.v^3.Cp(\lambda,\beta)
\rho : masse volumique de l'air (air atmosphérique sec, environ : 1,23 kg/m3 à 15 °C et à pression atmosphérique 1,0132 bar)\\
R : longueur des pales ou rayon de la turbine (en m) \\
v : vitesse du vent (en m/s)\\
Cp(\lambda,\beta) : Coefficient de performance (sans unité)\\
\lambda : Vitesse spécifique (em m/s)\\
\beta : Angle de calage des pales (en degrés) \\
~~CL~~
===== Production d'énergie annuelle =====
==== Variation de la production d'énergie par rapport à la vitesse du vent ====
La production d'énergie varie presque avec le cube de la vitesse du [[vent]].
La densité de l’air entre également en jeu : une éolienne produit 3 % de plus d’électricité si, pour une même vitesse de vent, l’air est 10 degrés inférieur. Les précipitations n’ont, quant à elles, aucune influence.
==== Le facteur de capacité ====
Le facteur de capacité d'une [[éolienne]] sur un site correspond à la puissance de sortie annuelle divisée par la production théorique maximale de cette éolienne si elle fonctionnait à sa puissance nominale (maximale) pendant l'ensemble des 8 766 heures (365,25 x 24) que compte une année.
Par exemple, pour une éolienne de 500 kW produisant 1,2 millions de kWh en un an on aura un facteur de capacité égal à 1 200 000/(8 766 x 500) = 0,274 soit 27,4%.
En théorie, un facteur de capacité est compris entre 0% et 100% mais dans la pratique il se trouvera plutôt compris entre 25% et 30%.
Bien qu'un facteur de capacité élevé soit en général à préférer, ce n'est pas obligatoirement un avantage d'un point de vue économique. Sur un site très venté il sera peut être plus judicieux économiquement d'utiliser une éolienne avec une plus petit [[rotor]] (donc un facteur de capacité plus faible qu'avec un rotor plus grand) mais qui sera moins chère.
===== Voir aussi =====
* [[éolienne]]
* [[projet_eolien:conception|conception d'une éolienne]]